Nachdem die Familie 1853 nach Kassel übergesiedelt war, wurde Faust 1855 Schüler des Lithographen Georg Koch und trat 1858 in die Malklasse Friedrich Wilhelm Müllers an der Kasseler Akademie ein. Ein Reisestipendium führte ihn 1864 nach Antwerpen, später auch nach Italien, wo er vor allem das venezianische Kolorit studierte. In München beeinflussten ihn Arnold Böcklin und besonders Hans Makart, den er später persönlich in Wien aufsuchte. Nach mehreren Italienreisen ließ er sich 1870 in Kassel nieder. Ein Lungen- und Nervenleiden behinderte seine künstlerische Arbeit der letzten Lebensjahre. Als Porträtmaler legte Heinrich Faust mehr Gewicht auf malerische Werte als auf Ähnlichkeit, ein Talent, welches er auch in seinen wenigen Landschaften nutzte. Seine zahlreichen Historienbilder haben poetisch-allegorischen Charakter, häufig durch Goldgrund gesteigert, ohne jedoch die monumentale Virtuosität Makarts zu erreichen. Auch sind in seinem Werk Einflüsse Karl v. Pilotys und Victor Müllers spürbar.

Faust-Album. Dichtungen in Bildern und Worten. 18 Lichtdrucke nach Gemälden von Heinrich Faust, mit Text von M. Greif/O. Eisenmann, Lübeck 1890; O. Eisenmann, Heinrich Faust. Nachruf, in: Casseler Tageblatt und Anzeiger, 38. Jg., Nr. 9, 9.1.1891; Katzenstein 1901 b, S. 313; F. Reul, Der Maler Heinrich Faust, in: Hessenland 19 (1905), S. 112-113, 128-129; Thieme-Becker 11 (1915), S. 302; P. Schulin, Heinrich Faust (1843-1894)/Maler, in: Lebensbilder 2 (1940), S. 136-139